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初中数学学习是最基础的内容，需要大家牢牢掌握，为以后的数学学习打好基础。下面是小编整理的初中数学知识点，欢迎大家阅读学习!,, 初中数学必考知识点,考点1,相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小。,考核要求：,(1)理解相似形的概念;,(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。,考点2,平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理,考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。,注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。,考点3,相似三角形的概念,考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。,考点4,相似三角形的判定和性质及其应用,考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。,考点5,三角形的重心,考核要求：知道重心的定义并初步应用。,考点6,向量的有关概念,考点7,向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算,考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算,考点8,锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。,考点9,解直角三角形及其应用,考核要求：,(1)理解解直角三角形的意义;,(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。,考点10,函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数,考核要求：,(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;,(2)知道常值函数;,(3)知道函数的表示 方法，知道符号的意义。,考点11,用待定系数法求二次函数的解析式,考核要求：,(1)掌握求函数解析式的方法;,(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。,注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。,考点12,画二次函数的图像,考核要求：,(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像,(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;,(3)会画二次函数的大致图像。,考点13,二次函数的图像及其基本性质,考核要求：,(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;,(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质。,注意：,(1)解题时要数形结合;,(2)二次函数的平移要化成顶点式。,考点14,圆心角、弦、弦心距的概念,考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断。,考点15,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明。,考点16,垂径定理及其推论,垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一。,考点17,直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系,直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映。在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解。,考点18,正多边形的有关概念和基本性质,考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题。,考点19,画正三、四、六边形。,考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形。,考点20,确定事件和随机事件,考核要求：,(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;,(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。,考点21,事件发生的可能性大小，事件的概率,考核要求：,(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;,(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;,(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。,注意：,(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;,(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确。,考点22,等可能试验中事件的概率问题及概率计算,考核要求：,(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;,(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;,(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题。,注意：,(1)计算前要先确定是否为可能事件;,(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整。,考点23,数据整理与统计图表,考核要求：,(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;,(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息。,考点24,统计的含义,考核要求：,(1)知道统计的意义和一般研究过程;,(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法。,考点25,平均数、加权平均数的概念和计算,考核要求：,(1)理解平均数、加权平均数的概念;,(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式。注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率。,考点26,中位数、众数、方差、标准差的概念和计算,考核要求：,(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;,(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题。,注意：,(1)当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;,(2)求中位数之前必须先将数据排序。,考点27,频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图,考核要求：,(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;,(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题。解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1。,考点28,中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用,考核要求：,(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;,(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;,(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决。, 初中数学公式和规律速记口诀,最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数)根指(数)要互质，幂指比根指小一点。,特殊点的坐标特征：坐标平面点(x，y)，横在前来纵在后;(+，+)，(-，+)，(-，-)和(+，-)，四个象限分前后;x轴上y为0，x为0在y轴。,象限角的平分线：象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵确相反。,平行某轴的直线：平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行x轴，纵坐标相等横不同;直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧。,对称点的坐标：对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，x轴对称y相反，y轴对称，x前面添负号;原点对称最好记，横纵坐标变符号。,自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。,函数图象的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b，二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则可用下面的口诀“左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记，上正下负错不了”。,一次函数的图象与性质的口诀：一次函数是直线，图象经过三象限;正比例函数更简单，经过原点一直线;两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远。,二次函数的图象与性质的口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点，它们确定图象现;开口、大小由a断，c与y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见.若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。,反比例函数的图象与性质的口诀：反比例函数有特点，双曲线相背离得远;k为正，图在一、三(象)限，k为负，图在二、四(象)限;图在一、三函数减，两个分支分别减.图在二、四正相反，两个分支分别增;线越长越近轴，永远与轴不沾边。,巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用/隔开，再用下面的。,一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：“正对鱼磷(余邻)直刀切.”正：正弦或正切，对：对边即正是对;余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻;切是直角边。,三角函数的增减性：正增余减。,特殊三角函数值记忆：首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。,平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行.对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，对角相等也有用，“两组对角”才能成。,梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线;平行移动一条腰，两腰同在“△”现;延长两腰交一点，“△”中有平行线;作出梯形两高线，矩形显示在眼前;已知腰上一中线，莫忘作出中位线。,添加辅助线歌：辅助线，怎么添?找出规律是关键，题中若有角(平)分线，可向两边作垂线;线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线;三角形中有中线，延长中线翻一番。,圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连.同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦.,圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。,正多边形诀窍歌：份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前.经过分点做切线，切线相交n个点.n个交点做顶点，外切正n边形便出现.正n边形很美观，它有内接、外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，如果n值为偶数，中心对称很方便.正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。,函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。,反比例函数双曲线：待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。,二次函数抛物线：选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。, 初中数学必考知识点总结,基本知识,㈠、数与代数A、数与式：,1、有理数,有理数：,①整数→正整数/0/负整数,②分数→正分数/负分数,数轴：,①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。,②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。,③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。,④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。,绝对值：,①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。,②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。,有理数的运算：,加法：,①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。,②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。,③一个数与0相加不变。,减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。,乘法：,①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。,②任何数与0相乘得0。,③乘积为1的两个有理数互为倒数。,除法：,①除以一个数等于乘以一个数的倒数。,②0不能作除数。,乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。,混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。,2、实数,无理数：无限不循环小数叫无理数,平方根：,①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。,②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。,③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。,④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。,立方根：,①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。,②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。,③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。,实数：,①实数分有理数和无理数。,②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。,③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。,3、代数式,代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。,合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。,4、整式与分式,整式：,①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。,②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。,③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。,整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。,幂的运算：AM+AN=A(M+N),(AM)N=AMN,(A/B)N=AN/BN 除法一样。,整式的乘法：,①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。,②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。,③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。,公式两条：平方差公式/完全平方公式,整式的除法：,①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。,②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。,分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。,方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。,分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。,分式的运算：,乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。,除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。,加减法：,①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。,②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。,分式方程：,①分母中含有未知数的方程叫分式方程。,②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。,方程与不等式,1、方程与方程组,一元一次方程：,①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。,②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。,解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。,二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。,二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。,适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。,二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。,解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。,一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程,1一元二次方程的二次函数的关系,大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了,2一元二次方程的解法,大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解,(1)配方法,利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解,(2)分解因式法,提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解,(3)公式法,这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a,3解一元二次方程的步骤：,(1)配方法的步骤：,先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式,(2)分解因式法的步骤：,把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式,(3)公式法,就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c,4.韦达定理,利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a,也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用,5一元一次方程根的情况,利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：,I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;,II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根;,III当△<0时，一元二次方程没有实数根(在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根),2、不等式与不等式组,不等式：,①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。,②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。,③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。,④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。,不等式的解集：,①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。,②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。,③求不等式解集的过程叫做解不等式。,一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。,一元一次不等式组：,①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。,②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。,③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。,一元一次不等式的符号方向：,在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。,在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：A>B,A+C>B+C,在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：A>B，A-C>B-C,在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：A>B，A_C>B_C(C>0),在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：A>B，A_C,如果不等式乘以0，那么不等号改为等号,所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;,3、函数,变量：因变量，自变量。,在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。,一次函数：,①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B(B为常数，K不等于0)的形式，则称Y是X的一次函数。,②当B=0时，称Y是X的正比例函数。,一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限;当K〈0，B〉0时，则经124象限;当K〉0，B〈0时，则经134象限;当K〉0，B〉0时，则经123象限。④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。,空间与图形,A、图形的认识,1、点，线，面,点，线，面：,①图形是由点，线，面构成的。,②面与 面相交得线，线与线相交得点。,③点动成线，线动成面，面动成体。,展开与折叠：,①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。,②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。,截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。,视图：主视图，左视图，俯视图。,多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。,弧、扇形：,①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。,②圆可以分割成若干个扇形。,角,线：,①线段有两个端点。,②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。,③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。,④经过两点有且只有一条直线。,比较长短：,①两点之间的所有连线中，线段最短。,②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。,角的度量与表示：,①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。,②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。,角的比较：,①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。,②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。,③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。,平行：,①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。,②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。,③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。,垂直：,①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。,②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。,③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。,垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。,垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后(关于画法，后面会讲)一定要把线段穿出2点。,垂直平分线定理：,性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;,判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上,角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。,定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点,性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等,判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上,正方形：一组邻边相等的矩形是正方形,性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质,判定：,1、对角线相等的菱形,2、邻边相等的矩形,基本方法,1、配方法,所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。,2、因式分解法,因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。,3、换元法,换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。,4、判别式法与韦达定理,一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的.判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。,韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等,5、待定系数法,在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。,6、构造法,在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。,7、反证法,反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。,反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。,归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。,8、面积法,平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。,用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。,9、几何变换法,在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。,几何变换包括：,(1)平移;,(2)旋转;,(3)对称。,10、客观性题的解题方法,选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。,填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。,要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。,(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。,(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。,(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。,(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。,(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。,(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，为分析法。, 初三数学知识点复习归纳,1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义,2 垂直于弦的直径,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;,垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧;,平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。,3 弧、弦、圆心角,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。,4 圆周角,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;,半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。,5 点和圆的位置关系,点在圆外,点在圆上 d=r,点在圆内 d,定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。,三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。,6直线和圆的位置关系,相交 d,相切 d=r,相离 d>r,切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径;,切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;,切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，圆心是三角形的三条角平分线的交点，为三角形的内心。,7 圆和圆的位置关系,外离 d>R+r,外切 d=R+r,相交 R-r,内切 d=R-r,内含 d,8 正多边形和圆,正多边形的中心：外接圆的圆心,正多边形的半径：外接圆的半径,正多边形的中心角：没边所对的圆心角,正多边形的边心距：中心到一边的距离,初二下册数学知识点,第一章一元一次不等式和一元一次不等式组,一、不等关系,1、一般地,用符号"<"(或"≤"),">"(或"≥")连接的式子叫做不等式.,2、要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.,3、准确"翻译"不等式,正确理解"非负数"、"不小于"等数学术语.,非负数<===>大于等于0(≥0)<===>0和正数<===>不小于0,非正数<===>小于等于0(≤0)<===>0和负数<===>不大于0,二、不等式的基本性质,1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:,(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:,如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.,(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即,如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.,(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:,如果a>b,并且c<0,那么ac,2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式),一般地:,如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;,如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;,如果a,即:,a>b<===>a-b>0,a=b<===>a-b=0,aa-b<0,(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.,三、不等式的解集:,1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.,2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.,3、不等式的解集在数轴上的表示:,用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:,①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;,②方向:大向右,小向左,四、一元一次不等式:,1、只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.,2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.,3、解一元一次不等式的步骤:,①去分母;,②去括号;,③移项;,④合并同类项;,⑤系数化为1(不等号的改变问题),4、一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax,①当a>0时,解为;,②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;,当a=0时,且b≥0,则无解;,③当a<0时,解为;, 初二下册数学知识点归纳北师大版,第一章分式,1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变,2、分式的运算,(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。,(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减,3、整数指数幂的加减乘除法,4、分式方程及其解法,第二章反比例函数,1、反比例函数的表达式、图像、性质,图像：双曲线,表达式：y=k/x(k不为0),性质：两支的增减性相同;,2、反比例函数在实际问题中的应用,第三章勾股定理,1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方,2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。,第四章四边形,1、平行四边形,性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。,判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;,两组对角分别相等的四边形是平行四边形;,对角线互相平分的四边形是平行四边形;,一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。,推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。,2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形,(1)矩形,性质：矩形的四个角都是直角;,矩形的对角线相等;,矩形具有平行四边形的所有性质,判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;,推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。,(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质,判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。,(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。,3、梯形：直角梯形和等腰梯形,等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等;同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。,第五章数据的分析,加权平均数、中位数、众数、极差、方差, 初中数学知识点整理:, 初中数学知识点总结大全2020, 初中数学知识点总结梳理, 初中数学知识点总结归纳, 初一数学知识点小归纳, 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