信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波 一、实验目的： （1）理解连续时间信号的采样与恢复过程； （2）掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握 Shannon 采样定理； （3）学会利用 MATLAB 软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。 （4）学会 FIR 滤波器的简单设计方法 二、实验内容： 给定原始信号如下式所示： f (t ) ? 1 ? 0.5sin 2? f1t ? 0.2sin 2? f 2t ， 其中， f1 , f 2 是信号原始频率（本实验中为自选常数， f1 为低频， f 2 为高频） 。确定一个 采样频率 f s 对 f (t ) 进行采样， 再将采样得到的序列进行 DFT， 画出过程中各信号的图形。 进行频域高、低频滤波，再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图 形与理论图形进行比较，发现不同点并加以解释。 三、实验过程： 先选定 f1=50hz、 f 2 ? 70Hz ，则原始信号表示为： f (t ) ? 1 ? 0.5sin(2? ? 50t ) ? 0.2sin(2? ? 70t ) 1、 原信号时域截取： 因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用 MATLAB 处理图形，只能先对信号进 行截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽度为原信号周期的 m 倍，m 为正整数。所 以画出截取后的信号图像为 图 1 截断后的信号图像 原信号中低频为50Hz，高频为70Hz，取采样频率 f s 为3倍的 f 2 ，即 fs ? 3 ? 70Hz ? 210Hz 。50和70的最大公约数为10，所以原信号的最小正周期为1/10s，这 里取m为3（即取窗口函数的宽度为3/10s） ，相应的采样点数 Nc =140 ? 0.3 ? 42 ，所以窗口 函数为 ?1 ? ? ? 0 ? t ? 0.3s ? ?t ? ? ? ?0 ? ? ? 其他 其图像如图2所示，其傅立叶变换图像如图3所示，其公式如下： F ?? ? t ?? ? ? sin(0.5?? ) ? j?? /2 e ，其中 ? ? 0.3s 0.5?? 图2 窗函数 图 3 窗函数傅里叶变换（CTFT） 时域截取的过程就是原函数 f ? t ? 在时域乘以 ? ? t ? ，而在频域 F ?? ? 与 ? 运算后再乘以系数 1 / 2? ，而在实际计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的范围就完成了截取信 号的过程，本实验中取信号横坐标为 [0, 0.3) ，截取后的CT信号的傅里叶变换图像如图4所示，其图像 在频域坐标轴上向正负无穷延展。 sin(0.5?? ) ? j?? /2 e 做卷积 0.5?? 图4 截取后的CT信号（ [0s,0.3s) ）的CTFT Fj ?? ? 2、 截断信号的时域采样 截断后的信号就可以在时域上进行采样，采样函数为 ?? ?? ?? ?? ?? (t ? nT ) ，截断后的信号 f ?t ? 乘以 ?? S j ?? ? ? (n ? nTS ) ，所以在频域相当于1/ 2? Fj ?? ? 与 ?s ?? (? ? n?s ) 进行卷积，其得到的图像为周期 的，其图像与离散采样信号的DTFT形式相同。 以上为CT信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处理方式，我们需要采用DFT和IDFT 进行计算求解。采样后的离散信号图像为下图所示 图5 采样后的信号 对上述有限的离散信号求DTFT，可以得到其在频域的表现形式，对离散角频率 ? 取 [0,6.28] 之 间的629个样点，计算其DTFT，并画出图像如下 图6 有限采样信号的DTFT频谱 如果对上述频谱图进行采样，则相应的，离散采样信号将进行周期延拓，如果在频域进行采样， 并保证在一个主周期中，有N个采样点，则离散采样信号将以N为离散周期进行延拓。如果令 N ? Nc ? 63 ,则其相当于原始周期信号的采样。 利用DFT，我们可以完成这个过程，DFT公式为 X (e j 2? k / N 1 N ?1 ) ? ? x[n] e? j 2? nk / N N n ?0 其类似于DTFS公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的频谱，其频谱与连续周期信号的频谱 在形式上极为相似，只要保证 N ? Nc ，频谱赋值在数值上相同。其图像如下： 图7 离散信号的DFT离散频谱 3、 设计离散滤波器并进行滤波。 目前，只进行了低通滤波。 目标：滤除 70Hz 的高频成分，保留直流分量和 50Hz 的低频成分。 方法：采用窗函数法设计 FIR 滤波器。采用海明窗。 具体步骤： （1） 、取通带截止频率为 ? p ? 2? ? 取阻带衰减不小于-50db。 （2） 、求理想滤波器的冲击响应。 ? j?t ? ?e hd (e j? ) ? ? ? ?0 ? p ? ? st f1 f2 ，取阻带起始频率为 ? st ? 2? ? ， ?c ? , 2 fs fs ?c ? ? ? ? ?c ?c ? ? ? 1 sin[?c (n ? ? )] ? ? ? (n ? ? ) hd (n) ? ? ? ?c ? ?? (3)、选择窗函数 本实验取海明窗 ? ? ?c 2? n 0.46 cosR N N ?1 n] ( ) w( n)? [ 0 . 5 ?4 (4)、确定 N 值。 海明窗带宽： ? ? 6.6? / N ， （5） 、确定 FIR 滤波器的 h(n) ? ? 2? (?st ? ? p ) / ?s ，所以求得 N 为 35 h( n)? h d ( n) w( n) （6） 、求 H (e j? ) 经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下图所示 图 8 滤波器单位冲击响应 图 9 数字滤波器的频谱图 下面进行滤波，把离散信号的 DFT 离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘，进行了 频域滤波。滤波后的离散频谱如下图所示 图 10 滤波后的离散频谱图 利用 IDFT 进行反变换得到滤波后的离散信号，其图像如下 图 11 IDFT 后的离散信号 4、 离散信号变为连续信号（插值） （1） 利用理想插值函数进行插值，其插值函数图像如下 图 12 理想插值函数 插值效果如下图所示 图 13 原始信号复原图 但是，上述插值在物理世界中，无法实现，因为它非因果，且为无穷信号。 与此同时，通过观察发现，在复原图像的边缘误差较大，原因是因为所取的离散 信号点为有限个， 所以存在误差， 当在边界进行插值时， 边界另一边没有信号值， 所以误差较大，当采样点为无穷个时，理论上可以精确复原原图像，但这在现实 生活中，无法实现。 （2） 一阶线性插值，其插值函数图像如下 图 14 一阶线性插值函数 插值效果如下图所示 图 15 原始信号复原图 一阶线性插值插值误差较大， 但基本反映出了图像的形态， 其在物理上可以实现。 通过观察，上述复原图在边缘出也存在较大误差，原因同上，同时因为插值函数 具有延时效果，所以复原信号在实间上有延迟，最直观就是比理想复原图向后移 动了一小段距离。 5、 参数调整 通过上面的实验，我对信号采样与复原过程有了一定的了解，下面通过参数调整来加 深理解。 （1）窗函数为整数倍周期，否则无法复原为原图像 调整截断信号所用窗函数的宽度，使其不等于周期的整数倍。之前取 m=3，这里取 m=1.5。得到的结果如下，这是因为，利用 DFT 在计算周期延拓离散信号的频谱的时候， 在时域延拓后的图像与原图像已经不一样了。 （2） 、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大 频率 上述实验中采样频率取值为 3 倍的信号最大频率分量，下面取 f s ? 2 ? 70Hz ? 140Hz ， 实验结果如下 通过观察发现， 频谱中没有 70Hz 对应的成分， 这是因为以 2 倍的频率来采样 A sin(?t ? ? ) 这样的谐波，得到的离散点无法反映该信号的全部特征，在这里对该信号的采样，全部在 t ? k? / ?, k ? 0,1, 2,3... 时刻，当 ? ? 0 时，所有的采样值都为零，就如上图所示，当 ? 取其他值时， 将会在频域发生混叠。这里取 ? ? 0.2 ，改变题干，令 f (t ) ? 1 ? 0.5sin 2? f1t ? 0.2sin(2? f 2t ? 0.2) ， 得到的结果，如下 所以，对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大 频率。 ( 3)采样数对于不同实验的实验结果的影响。 1）通过实验发现，提高窗函数宽度，即在采样频率不变的情况下提高采样点数，对信号 复原效果提高不大。 2） 通过实验发现， 在窗函数宽度不变的情况下， 提高采样频率能显著提高信号复原效果， 但在信号边缘的误差无法得到显著改善。 （4）欠采样时，高频分量会关于采样频率反折而变为低频分量。例如取 f s ? 0.7 ? 70Hz ? 49Hz 时 ， 50Hz 和 70Hz 的 分 量 都 关 与 采 样 频 率 进 行 了 反 折 。 结 果 如 下 四、实验总结和体会 （一）此次计算机模拟仿真实验，主要是做了以下一些工作： 1、 模拟了连续信号采样和复原的过程。 2、 变换了不同的参数，并加以解释，加深了对问题的理解。 3、 采用了窗函数法设计了 FIR 数字滤波器进行了低通滤波处理，画出了滤波效果图。 4、 对 Matlab 的理解和运用有了进一步的提高。 5、 只有真正的动手实践，才有可能真正的理解学到的知识，否则只是肤浅的背诵。 （二）实验过程主要存在的一些问题： 1、 只进行了低通滤波器设计，没有进行高通和带通设计。