课题：集合的包含关系 第 2 课时 教学目标： 教学目标： 1、理解集合的包含与相等关系的含义，能识别给定集合的子集。 2、在具体情境中了解全集的含义。 3、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 教学重点： 教学重点： 1、集合的包含关系、子集、真子集、集合相等的概念以及符号表示。 、 2、全集的概念，一个集合的补集的概念，符号表示。 教学难点： 教学难点： 1、 属于、包含关系的区别，包含与相等关系的区别，空集是任何非空集合的线、 对补集概念的理解。 教学过程： 教学过程： 一、复习与练习 1． 复习提问 （1） 谁能解释集合与元素的含义？元素与集合可能有怎样的关系？ （2） 用适当的数学符号填空 m ____ Q ( m, n ∈ Z + ) n （4） 解释集合{（x,y） 0____ ? （3） 用不同的方法表示不超过 10 的非负偶数 y ?1 = 1 , x, y ∈ R }的含义。 2? x 点评： （2）根据有理数的定义；0 不属于空集合 （3）{0，2，4，6，8，10} { x x = 2n，n ∈ N, n≤5} （4）除去点（2，1）的直线）如果 2 ∈ { x x 2 + px ? 2 = 0 }，用列举法表示出这个集合； （3）用列举法表示集合 { x 1- x 3, x ∈ Z }; （4）用区间的形式表示集合{ x x = t 2 + 1, t ∈ R }； （5）集合{（x,y） x+y=6， x, y ∈ N }有几个元素？ 点评： （1）被 3 整除的数集怎么表示？ （2）这个集合的含义是什么？2 ∈ { x x 2 + px ? 2 = 0 }用我们熟悉的话应该 怎样理解？（已知 2 是二次方程的根）怎样理解用列举法表示出这个集合？（求出方 程的两个根） （3）不等式的整数解 （4）当 t 取遍所有实数，x 的取值范围[1， + ∞ ） （5）注意自然数的限制，求二元一次方程的自然数解。 二、引入新课：集合包含关系 1 组织阅读与讨论 （1） ．阅读课本“白马非马”的故事（第 6 页） （2） ．提问：张院士在这里讲这个故事想告诉我们什么？ “赤兔马”“白马”“马”在这里是元素还是集合？ 、 、 在讨论了元素与集合的关系之后，需要以此为基础讨论集合与集合的关系。 例如：N、Z、Q、R 这几个数集之间的包含关系 二、集合的子集和线． 子集的概念与表示 看几个例子： （1） 若集合 A 为{1，3，5，7，9}，B 为{1，5，9}，这两个集合存在着包含关系， 谁包含谁呢？显然 A 包含 B，B 包含于 A，这时称 B 是 A 的子集。 （2） 若集合 A 为{ x x = 2n+1，n ∈ Z}，集合 B 为{ x x = 4n+1，n ∈ Z}，这两个集合 存在怎样的包含关系呢？ A 为奇数集合，而 B 为{…，-7，-3，1，5，9，13，…}，这两个集合存在着包含关系， 谁包含谁呢？显然 A 包含 B，B 包含于 A，这时称 B 是 A 的子集。 可以用下面的图直观地表示这两个集合的关系 A B 类似地可以考虑下面三个集合的包含关系 （3） 若集合 A 为{平行四边形}，集合 B 为{矩形}，集合 C 为{正方形}，这三个集合 存在怎样的包含关系呢？ 现在可以给子集下定义了 的元素， 的子集。 如果集合 B 的每一个元素都是集合 A 的元素，这时就说 B 是 A 的子集。也可以 说 B 包含于 A，或 A 包含 B。记为 B ? A 或 A ? B。 ， 。 。 “B 是 A 的子集”也可以表述为 如果对于任意的 x ∈ B 都能推出 x ∈ A ，则可推断 B ? A。 利用这个定义判断两个无限集合{ x x = 2n+1， ∈ Z}与{ x x = 4n+1， ∈ Z}的包含关 n n 系 （我们刚才先通过代入 n 一些具体的数值了解这两个集合的含义，发现它们之间的 包含关系，现在给出形式化的证明） 对于任意的 x ∈ { x x = 4n+1， ∈ Z}， n 都可以把 x 表示为 x = 4n+1， ∈ Z 或 x = 2m+1， n m ∈ Z，其中 m =2 n，可见 x ∈ { x x = 2n+1，n ∈ Z}。于是{ x x = 4n+1，n ∈ Z} ? { x x 如果集合 B 不是集合 A 的子集，记为 B ? A，读作“不包含于”（可演示课件， 。 见下图） = 2n+1，n ∈ Z}。 2 下面的三个图表示的都是集合 B 不包含于集合 A 的情况。 B A B A B A 2． 真子集 按照子集的定义，任何集合都是它自己的子集合，即 A ? A。 如果 B 是 A 的子集，A 也是 B 的子集，就说两个集合相等 集合相等。 集合相等 例如{ x x = 2n+1，n ∈ Z}与{ x x = 2n-1，n ∈ Z}就是相等的集合。 的子集， 的子集， 的真子集。 如果 B 是 A 的子集，但 A 不是 B 的子集，就说 B 是 A 的真子集。 的真子集”的定义用符号语言表示： “B 是 A 的真子集”的定义用符号语言表示： 如果对于任意的 x ∈ B 都能推出 x ∈ A ， 但存在至少一个元素 y ∈ A ， y ? B 。 而 上面的三个例子都给出了真子集的例子 上面我们已经判断出集合{ x x = 4n+1，n ∈ Z} ? { x x = 2n+1，n ∈ Z}，要想进一步判 断前者是后者的真子集只须在集合中找到一个元素不属于集合{ x x = 4n+1， ∈ Z}就可 n 以了。你能找出这样一个数吗？（例如 7，被 4 除余 3！ ） 我们规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 我们规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的线 例题：你能找出集合{1，2}的所有子集与真子集吗？你能找出集合{1，2，3}的所有 子集与线}的所有子集： ? ，{1}，{2}，{1，2}。 （共计 4 个） {1，2}的所有线}的所有子集： ? ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}。 （共计 8 个） （共计 7 {1，2，3}的所有线，3}。 个） （怎样不重不漏 不重不漏地找出所有子集呢？需要有条理的思考。再换个问题例如{1，2，3， 不重不漏 4}想想，你还会解吗？你从中悟出什么规律？可以课下思考。 ） 指导阅读课本第 7 页，并讨论书上的问题 1．写出 N、Z、Q、R 这几个数集之间的包含关系。 （符号与图示） 2．区间[a,b]、 （a,b） 、[a,b）（a,b]这几个集合之间，哪个是哪个的真子集合？ 、 （a,b） ? [a,b）（a,b） ? （a,b]， ， （a,b） ? [a,b]，[a,b） ? [a,b]， （a,b] ? [a,b] 练习：集合 A={ x 1- x 3, x ∈ R }，集合 B={ x ax a+1， x ∈ R }，B ? A，求 实数的取值范围。 3．平面上的全体三角形、全体等腰三角形、全体正三角形和全体直角三角形分别组 成四个集合，哪个是哪个的真子集？ {全体直角三角形} ? {全体三角形}， {全体正三角形} ? {全体等腰三角形} ? {全体三角形} 把上面讨论的内容小结如下 （1） 从“属于”到“包含于” ，前者讨论的是元素与集合的关系，后者讨论的是集 4 合与集合的关系。 （2） 集合 B 与 A 或存在 B ? A 或存在 B ? A 两种关系， 我们重点研究 B ? A 的情 形。 （3） B ? A 的两种情形：相等；真子集。 （空集是任何集合的子集） 三、全集与补集 上课时，看看教室里谁来了，就能推断谁没有来。 把全体同学叫作全集（全集一般用符号 I 表示） ，出席的同学看成一个集合 A，没 有出席的同学看成另外一个集合 B， 集合 B 叫作集合 A 的补集。 （同样的，集合 A 叫作集合 B 的补集）（排球赛场上，替补队员的集合就是上场队员集合的补集） 。 的子集， 如果集合 A 是集合 I 的子集，我们把所有 I 中不属于集合 A 的元素组成的集合叫作 A 的补集。 的补集。 看一个棋盘染色的例子 棋盘上所有方格组成全集 , 染色的与没染色的方格各组成一个子集 , 这两个子集为互补关系吗 ? 拖动其中的一个到另一个上方 ,试试看 . 可以用下面的图示表示补集 大圆域表示全集，绿 圆域表示集合 A，绿 圆外的蓝色区域就 是 A 的补集。 A 5 提问：1、设 I=Z，A 为奇数集合，它的补集是什么？（偶数集） 2、设 I=R，Q 的补集是什么？ （无理数集） R 3、设 I=R， + 的补集是什么？ (非正实数集， ? 加上 0， x ≤ 0, x ∈ R }) R {x 4、设 I=R， (?∞,?5] 的补集是什么？ （ （-5， + ∞ ） ，{x x ?5, x ∈ R }） 5、设 I=R， （-5， + ∞ ）的补集是什么？ （ (?∞,?5] ，{x x ≤ ?5, x ∈ R }） 6、设 I=Z，A={ x x = 3n ± 1，n ∈ Z}，A 的补集是什么？（整数中 3 的倍数组成的 集合） 7、设 I={全体三角形}，{全体直角三角形}的补集是什么？ {锐角三角形或钝角三 角形} 8、设 I={（x,y） x+y=3， x, y ∈ R } ，A={（x,y） 集是什么？（点（2，1）构成的集合） 小结：1、今天学习的第二个重点内容是补集，需要明确全集与补集的概念及其符号表示。 2、 今天又新增加了三个数学符号，开始可能不太习惯，需要在反复练习中熟悉它们。 作业：1、阅读课文 6—9 页，写读书笔记（归纳知识，写出心得，提出问题） 。 2、作业 第 9 页 1——4 y ?1 = 1 , x, y ∈ R }，A 的补 2? x 6